Soru
Elimizde bir kutumuz var ve içerisinde mavi ve kırmızı toplar bulunuyor. Eğer 15 mavi, 6 kırmızı top varsa(toplamda 21), görülüyor ki rastgele 2 top seçildiğinde mavi olma olasılığı %50.
P(BB) = 15/21 * 14/20 = 1/2
Bir sonraki %50 olasılığı ise 85 mavi, 35 kırmızı topta yakalıyoruz.
P(BB) = 85/120 * 84/119 = 1/2
Toplamda 10^12 ( 1.000.000.000.000 ) yani 1 trilyonun üzerinde top olduğunda karşılaştığınız ilk 1/2 oranında kaç adet mavi top bulunur?
Çözüm
Bu sorunun çözümünde matematiksel yollara başvurmak gerekiyor gibi görünüyor. Her ne kadar aralık belirlenip kaba kuvvet(brute force) ile çözülebilecek gibi dursa da, matematiksel yöntemin verdiği hıza ulaşmak mümkün değil.
Mathematica yazılımıyla hiç kafa yormadan sonucu elde etmek mümkün, pek hoşuma gitmeyen bir yol olsa da çözümü şu şekilde :
Solve[b/(b + r) * (b - 1)/(b + r - 1) == 1/2 && b + r > 10^12 && b > 0 && r > 0, {b, r}, Integers]
Burada bize bir işlem düşmüyor, mantığımızı kullanmak zorunda kalmıyoruz neredeyse. Biraz düşünmek, zorlanmak... Bu sorularda aradığım şey bu, çözümü kolayca elde etmek keyfimi kaçırıyor.
Soruyu çözmeye çalışalım. b mavi topların, n ise tüm topların sayısı olsun. Buradan görülüyor ki:
2b^2-2b-n^2+n=0 gibi bir denklem geliyor.Pek işe yarar görünmüyor. Fakat bazı ek matematik araçları sayesinde bu denklemin bize şunları verdiğini görüyoruz.
b(k+1) = 3bk + 2nk -2
n(k+1) = 4bk + 3nk -3
*Burada k alt indistir.
Bu iki denklemi elde ettikten sonra çözüme milisaniyeler içerisinde ulaşmak mümkün oluyor. Zaten Mathematica'nın bu kadar hızlı çalışma sebebi de, bu tarz basite indirgemeler yapması. Eğer bu basit denklemleri elde edemezseniz, çözüme ulaşmak kat kat daha fazla zaman alacaktır.
Sonuç olarak toplamda 756.872.327.473 adet mavi top olması gerektiğini görüyoruz.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder